Question

長方形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P點，將一個直角三角板的直角頂點放在P點處，并使它的一條直角邊過A點，另一條直角邊交CD于E點．
（1）找出圖中與PA相等的線段．并說明理由．
（2）若點E為CD的三等分點，且BC=6，求BP的長．

Answer 1

分析：（1）可由∠B=∠C=90°，AB=PC，∠APB=∠PEC，證得△ABP≌△PCE，所以PA=PE．
（2）利用點E為CD的三等分點，即可得出DE=

1

3

DC或DE=

2

3

DC，分別求出即可．

解答：解：（1）PE=PA．
理由如下：
由DP平分∠ADC可得∠ADP=∠PDC=45°，
又由AD∥BC可得∠ADP=∠DPC，從而得到∠PDC=∠DPC，
所以PC=DC．
又因為AB=DC，所以AB=PC．
由于直角三角板的直角頂點放在點P處，
所以∠APE=90°．
從而∠APB+∠EPC=90°．
∴∠EPC+∠PEC=90°．
∴∠APB=∠PEC．
在△PAB和△EPC中，

∠B=∠C=90° ∠APB=∠PEC AB=PC

，
所以△PAB≌△EPC（AAS），
從而可得PE=PA．

（2）∵△PAB≌△EPC，
∴AB=PC=CD，
∵BC=6，
∴BP=6-AB，
當DE=

1

3

DC，
∴EC=

2

3

DC=

2

3

AB，
∴6-AB=

2

3

AB，
解得：AB=

18

5

，
∴PB=6-

18

5

=

12

5

，
當DE=

2

3

DC，
∴EC=

1

3

DC=

1

3

AB，
∴6-AB=

1

3

AB，
解得：AB=

9

2

，
∴PB=6-

9

2

=

3

2

，
∴BP的長為：

3

2

或

12

5

．

點評：此題主要考查了矩形的性質以及等腰三角形的性質，把角平分線置于矩形的背景之中，與平行線組合使用，溝通了角與角之間的關系．由于角平分線、平行線都具有轉化角的作用，在兩者共存的圖形中常會出現等腰三角形，所以命題者常將兩者組合，設計出精彩紛呈的題目．