Question

如圖，點A、F、C、D在同一直線上，點B和點E分別在直線AD的兩側，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求證：四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）若∠ABC=90°，AB=8，BC=6，當四邊形BCEF是菱形，求AF的長．

Answer 1

分析：（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易證得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）由四邊形BCEF是菱形，連接BE，交CF與點G，證得△ABC∽△BGC，由相似三角形的對應邊成比例，即可求得AF的值．

解答：（1）證明：∵AF=DC，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，

AB=DE ∠A=∠D AC=DF

，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四邊形BCEF是平行四邊形；

（2）解：連接BE，交CF于點G，
∵四邊形BCEF是菱形，
∴CG=FG，BE⊥AC，
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC=

AB2+BC2

=10，
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，
∴△ABC∽△BGC，
∴

BC

AC

=

CG

BC

，
即

6

10

=

CG

6

，
∴CG=3.6，
∵FG=CG，
∴FC=2CG=7.2，
∴AF=AC-FC=10-7.2=2.8．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意數形結合思想的應用，注意掌握輔助線的作法．