Question

【題目】如圖，等邊三角形的邊長為，點為上的一點，點為上的一點，連結、，．

求證：①；②；

若，求和的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CD=．

【解析】

（1）①由△ABC為等邊三角形，易得∠B=∠C=60°，又∠APD=60°，由外角性質可得∠DPC=∠PAB，利用相似三角形的判定定理（AA）可得△ABP∽△PCD；

②由∠PAC=∠DAP，∠C=∠APD=60°，由相似三角形的判定定理（AA定理）可得△ADP∽△APC，利用相似三角形的性質可得結論；

（2）由AB=BC=3，PC=2，得到BP=1，由△ABP∽△PCD，利用相似三角形的性質可得，易得CD，可得AD，再利用AP2=ADAC，可得AP．

（1）①在等邊三角形△ACB中，∠B=∠C=60°．

∵∠APD=60°，∠APC=∠PAB+∠B，∴∠DPC=∠PAB，∴△ABP∽△PCD；

②∵∠PAC=∠DAP，∠C=∠APD=60°，∴△ADP∽△APC，∴，∴AP2=ADAC；

（2）∵AB=BC=3，PC=2，∴BP=1．

∵△ABP∽△PCD，∴，∴CD==，∴AD=3﹣=．

∵AC=3，AD=，AP2=ADAC，∴AP=．