Question

如圖：已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC與⊙O相交于點D，連接AD并延長，與BC相交于點E．
（1）若BC=，CD=1，求⊙O的半徑；
（2）取BE的中點F，連接DF，求證：DF是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設⊙O的半徑為r，由于AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，根據切線性質可知AB⊥BC，在Rt△OBC中，利用勾股定理可得（r+1）²=r²+（）²，解得r=1；
（2）連接OF，由于OA=OB，BF=EF，可知OF是△BAE的中位線，那么OF∥AE，于是∠A=∠2，根據三角形外角性質可得
∠BOD=2∠A，易證∠1=∠2，而OD=OB，OF=OF，利用SAS可證△OBF≌△ODF，那么∠ODF=∠OBF=90°，于是OD⊥DF，
從而可證FD是⊙O的切線．
解答：解：（1）設⊙O的半徑為r，
∵AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，
∴AB⊥BC，
在Rt△OBC中，∵OC²=OB²+CB²，
∴（r+1）²=r²+（）²，
解得r=1，
∴⊙O的半徑為1；                    
（2）連接OF，
∵OA=OB，BF=EF，
∴OF是△BAE的中位線，
∴OF∥AE，
∴∠A=∠2，
又∵∠BOD=2∠A，
∴∠1=∠2，
在△OBF和△ODF中，

∴△OBF≌△ODF，
∴∠ODF=∠OBF=90°，
即OD⊥DF，
∴FD是⊙O的切線．
點評：本題考查了勾股定理、全等三角形的判定和性質、中位線的性質，解題的關鍵是證明△OBF≌△ODF．