Question

已知二次函數(shù)y=x²+ax+a-2．
（1）求證：不論a為何實數(shù)，此函數(shù)的圖象與x軸總有兩個交點；
（2）當(dāng)兩個交點間的距離為

29

時，求a的值；
（3）在（2）的條件下求出函數(shù)的最大值或最小值．

Answer 1

分析：（1）令函數(shù)值y=0，可得出一個關(guān)于x的一元二次方程，證△＞0即可．
（2）可設(shè)出兩個交點的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)韋達定理表示出兩交點的距離，即可求出a的值．
（3）可根據(jù)（2）得出的a的值，求出拋物線的解析式，用配方法或公式法即可求出函數(shù)的最大或最小值（本題拋物線開口向上，因此只有最小值）．

解答：解：（1）令y=0，
則有x²+ax+a-2=0①，
△=a²-4a+8=（a-2）²+4＞0，
因此不論a的值為多少，拋物線總與x軸有兩個不同的交點．

（2）設(shè)兩交點的坐標(biāo)為（x₁，0）（x₂，0）（x₁＜x₂）；
根據(jù)方程①可得
x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2
x₂-x₁=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2-4a+8

=

29

∴a²-4a+8=29，即a²-4a-21=0
∴a=-3或a=7．

（3）當(dāng)a=-3時，y=x²-3x-5=（x-

3

2

）²-

29

4

∴函數(shù)的最小值為-

29

4

當(dāng)a=7時，y=x²+7x+5=（x+

7

2

）²-

29

4

∴函數(shù)的最小值為-

29

4

∴函數(shù)的最小值為-

29

4

．

點評：本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識．