Question

如圖，設(shè)在矩形ABCD中，點(diǎn)O為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，∠BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)F，已知AD=3，AB=

3

．
（1）求證：△AOB為等邊三角形；
（2）求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理可得BD=2

3

，再根據(jù)矩形對(duì)角線互相平分，所以AO、BO、AB的長(zhǎng)都等于

3

，所以是正三角形；
（2）根據(jù)角平分線可得△ABE是等腰直角三角形，那么BE=

3

，∠AEB=45°，在△BEO中，∠BOE=（180°-30°）÷2=75°，所以∠COE=180°-30°×2-75°=45°，所以△BEF≌△COE，那么BF=CE，進(jìn)而得到CE=BC-BE=3-

3

，得解．

解答：（1）證明：在Rt△ABD中，BD=

AB2+AD2

=

32+ 3 2

=2

3

，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB=

1

2

BD=

3

，
又∵AB=

3

，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB為等邊三角形；

（2）解：∵AE是∠BAD的平分線，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，△BEO是等腰三角形，
又∠EBO=90°-60°=30°，
∴∠BOE=（180°-30°）÷2=75°，
在△BOC中∠COE=180°-30°×2-75°=45°，
所以，在△BEF和△COE中

∠EBF=∠OCE=30° BE=CO= 3 ∠BEF=∠COE=45°

，
∴△BEF≌△COE（ASA），
∴BF=CE，
又CE=BC-BE=3-

3

，
∴BF=3-

3

．

點(diǎn)評(píng)：三邊相等的三角形是等邊三角形；應(yīng)注意利用全等把所求的線段整理到易求得長(zhǎng)度的三角形中．