Question

已知：如圖，在?ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，CE、AF與對角線BD分別相交于點G、H．
（1）求證：DH=HG=BG；
（2）如果AD⊥BD，求證：四邊形EGFH是菱形．

Answer 1

分析：（1）根據AB∥CD，利用平行線分線段成比例定理即可求證

DH

HB

=

DF

AB

=

DF

CD

=

1

2

．則DH=

1

3

BD，BG=

1

3

BD，即可求證；
（2）連接EF，交BD于點O，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形EGFH是平行四邊形，根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可求證．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD．（1分）
∴△DHF∽△BHA，
∵點E、F分別是AB、CD的中點，
∴

DH

HB

=

DF

AB

=

DF

CD

=

1

2

．（2分）
∴DH=

1

3

BD．（1分）
同理：BG=

1

3

BD．（1分）
∴DH=HG=GB=

1

3

BD．（1分）

（2）連接EF，交BD于點O．（1分）
∵AB∥CD，AB=CD，點E、F分別是AB、CD的中點，
∴

FO

EO

=

OD

BO

=

DF

BE

=

1 2 CD

1 2 AB

=1．（1分）
∴FO=EO，DO=BO．（1分）
∵DH=GB，
∴OH=OG．
∴四邊形EGFH是平行四邊形．（1分）
∵點E、O分別是AB、BD的中點，∴OE∥AD．
∵AD⊥BD，∴EF⊥GH．（1分）
∴?HEGF是菱形．（1分）

點評：本題主要考查了平行線分線段成比例定理，以及菱形的判定，正確理解定理是解決本題的關鍵．