Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過點A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為P，求∠PAC正切值；
（3）若以A、P、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法將A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點代入y=ax²+bx+c即可求出；
（2）利用配方法求出二次函數的頂點坐標，進而求出PA，PC，AC，從而得出∠PAC正切值；
（3）求出直線AC的解析式，直線AP的解析式，直線PC的解析式，當AC是平行四邊形的一條對角線時，當PC是平行四邊形的一條對角線時，當AP是平行四邊形的一條對角線時分別得出．
解答：解：（1）由題意得：，
解得：，
∴y=-x²-2x+3；

（2）y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴P（-1，4），
∴，，，
∵PA²=PC²+AC²
∴∠PCA=90°，
∴；

（3）∵直線AC的解析式是：y=x+3，
直線AP的解析式是：y=2x+6，
直線PC的解析式是：y=-x+3，
當AC是平行四邊形的一條對角線時：
PC∥AM，AP∥CM，
∴利用兩直線平行k的值相等，即可得出：
直線MC的解析式是：y=2x+3，
直線AM的解析式是：y=-x-3，
∴M（-2，-1），
當PC是平行四邊形的一條對角線時：同理可得∴M（2，7），
當AP是平行四邊形的一條對角線時：∴M（-4，1），
∴M（-2，-1）或M（2，7）或M（-4，1）．
點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及解直角三角形和平行四邊形的性質等知識，（3）題中注意分類討論的數學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．