Question

如圖，已知⊙O的半徑為1，DE是⊙O的直徑，過點D作⊙O的切線AD，C是AD的中點，AE交⊙O于B點，四邊形BCOE是平行四邊形．
（1）求AD的長；
（2）BC是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，由ED為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠DBE為直角，由BCOE為平行四邊形，得到BC與OE平行，且BC=OE=1，在直角三角形ABD中，C為AD的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半求出AD的長即可；
（2）連接OB，由BC與OD平行，BC=OD，得到四邊形BCDO為平行四邊形，由AD為圓的切線，利用切線的性質得到OD垂直于AD，可得出四邊形BCDO為矩形，利用矩形的性質得到OB垂直于BC，即可得出BC為圓O的切線．
解答：解：（1）連接BD，∵DE是直徑∴∠DBE=90°，
∵四邊形BCOE為平行四邊形，
∴BC∥OE，BC=OE=1，
在Rt△ABD中，C為AD的中點，
∴BC=AD=1，
則AD=2；

（2）是，理由如下：
如圖，連接OB．∵BC∥OD，BC=OD，
∴四邊形BCDO為平行四邊形，
∵AD為圓O的切線，
∴OD⊥AD，
∴四邊形BCDO為矩形，
∴OB⊥BC，
則BC為圓O的切線．
點評：此題考查了切線的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線性質，以及平行四邊形的判定與性質，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．