Question

【題目】已知直線l：y=kx+4與拋物線y=x2交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)求：；的值．

(2)過點(0，-4)作直線PQ∥x軸，且過點A、B分別作AM⊥PQ于點M，BN⊥PQ于點N，設直線l：y=kx+4交y軸于點F．求證：AF=AM=4+y1．

(3)證明：+為定值，并求出該值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）聯立y=kx+4與y=x2，根據一元二次方程根與系數的關系即可求出、的值；

（2）作FC⊥AM于點C，可求F（0,4）.設A（x1 x1）,根據勾股定理及圖形與坐標的關系可證結論成立；

（3）求出AF=， BF=，代入+化簡即可.

∵y=kx+4，y=x2，

∴x2- kx-4=0，

∴,

；

∵y1=kx1+4，y2=kx2+4，

∴；

（2）作FC⊥AM于點C，

∵當x=0時，

y=0+4=4，

∴F（0,4）.

設A（x1 x12）,

∴AF=.

∵AM=，

∴AF=AM.

∵y1=x12，

∴AF=AM=4+y1；

（3）由（2）知，AF=，同理可求BF=.

∴+

=

=

= .

∵ y2+(-8-16k2)y+16=0,

∴，，

∴+=

= .