Question

拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點為A（m-4,0）和B(m,0)，與直線y=-x+p相交于點A和點C(2m-4,m-6).

(1)求拋物線的解析式；

（2）若點P在拋物線上，且以點P和A,C以及另一點Q為頂點的平行四邊形ACQP面積為12，求點P,Q的坐標；

（3）在（2）條件下，若點M是x軸下方拋物線上的動點，當⊿PQM的面積最大時，請求出⊿PQM的最大面積及點M的坐標。

Answer 1

解：（1）∵點A(m-4,0)和C(2m-4,m-6)在直線y=-x+p上

∴　　 -(m-4)+p=0　　　　　　　　　　　 m=3

　　　 -(2m-4)+p=m-6,　　　　　 解得： p=-1

∴A(-1,0)　 B(3,0),　 C(2,-3)

　　　 設拋物線y=ax²+bx+c=a(x-3)(x+1),

∵C(2,-3)　 ∴a=1

∴拋物線解析式為：y=x²-2x-3

（2）AC=3,AC所在直線的解析式為：y=-x-1，∠BAC=45⁰

∵平行四邊形ACQP的面積為12.

∴平行四邊形ACQP中AC邊上的高為=2

過點D作DK⊥AC與PQ所在直線相交于點K,DK= 2,∴DN=4

∵ACPQ,PQ所在直線在直線ACD的兩側，可能各有一條，

∴PQ的解析式或為y=-x+3或y=-x-5

∴　 y=x²-2x-3

y=-x+3

解得： x₁=3　　 或　 x₂=-2

　　 y₁=0　　　　　 y₂=5

y=x²-2x-3

y=-x-5　　 方程組無解。

即P₁(3,0), P₂(-2,5)

∵ACPQ是平行四邊形 ，A(-1,0)　　 C(2,-3)

∴當P(3,0)時，Q(6，-3)

當P(-2,5)時，Q(1，2)

∴滿足條件的P,Q點是P₁(3,0), Q₁(6，-3)或 P₂(-2,5)，Q₂(1，2)

（4）　 設M(t,t²-2t-3),(-1＜t＜3),過點M作y軸的平行線，交PQ所在直線雨點T,則T(t,-t+3)

MT=(-t+3)-( t²-2t-3)=- t²+t+6

過點M作MS⊥PQ所在直線于點S，

MS=MT= (- t²+t+6)=- (t-)²+

∴當t=時，M（，-），⊿PQM中PQ邊上高的最大值為