Question

閱讀探究題：如圖1，四邊形ABCD是正方形（正方形的四邊相等，四個角都是直角），點E是邊BC的中點．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分線CF于點F，

（1）求出角∠ECF的度數？
（2）求證：AE=EF．
（3）如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立，你認為這樣的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出∠BCD=90°，∠DCF=45°，即可求出答案；
（2）取AB中點M，連接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根據ASA推出△AME和△ECF全等即可；
（3）截取BE=BM，連接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根據ASA推出△AME和△ECF全等即可；

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°=∠DCG，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF=

1

2

∠DCG=45°，
∴∠FCE=90°+45°=135°；
（2）證明：取AB中點M，連接EM，
∵AB=BC，E為BC中點，M為AB中點，
∴AM=CE=BE，
∴∠BME=∠BME=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AME和△ECF中

∠MAE=∠CEF AM=EC ∠AME=∠ECF

，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（3）解：正確，
理由是：在AB上截取BM=BE，連接ME，
∵∠B=90°，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵AB=BC，BM=BE，
∴AM=EC，
在△AME和△ECF中

∠MAE=∠CEF AM=EC ∠AME=∠ECF

，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質和判定等知識點，關鍵是推出△AME≌△ECF．