Question

如果n為正偶數，并且（n-1）²整除n²⁰⁰⁶-1，那么n的最大值為

1004

．

Answer 1

分析：首先利用n^k-1=（n-1）（n^k-1+n^k-2+n^k-3+…+n+1）把n²⁰⁰⁶-1分解因式，然后把n²⁰⁰⁵+n²⁰⁰⁴+n²⁰⁰³+…+n+1變為（n²⁰⁰⁵-1）+（n²⁰⁰⁴-1）+…+（n²-1）+（n-1）+2006，接著利用數的整除性即可解決問題．

解答：解：∵n²⁰⁰⁶-1=（n-1）（n²⁰⁰⁵+n²⁰⁰⁴+n²⁰⁰³+…+n+1），
∴（n-1）²整除n²⁰⁰⁶-1就是（n-1）整除n²⁰⁰⁵+n²⁰⁰⁴+n²⁰⁰³+…+n+1，
而n²⁰⁰⁵+n²⁰⁰⁴+n²⁰⁰³+…+n+1=（n²⁰⁰⁵-1）+（n²⁰⁰⁴-1）+…+（n²-1）+（n-1）+2006，
但（n-1）整除n^k-1，k=1、2、…，2005，
∴（n-1）整除2006，
又n為正偶數，
故n的最大值為1004．
故答案為：1004．

點評：此題主要考查了數的整除性問題，解題時多次利用公式n^k-1=（n-1）（n^k-1+n^k-2+n^k-3+…+n+1），然后利用數的整除性即可求解．