Question

已知拋物線y=﹣x²+bx+c的對稱軸為直線x=1,最小值為3，此拋物線與y軸交于點A，頂點為B，對稱軸BC與x軸交于點C．
【小題1】（1）求拋物線的解析式.
【小題2】（2）如圖1．求點A的坐標及線段OC的長；
【小題3】（3）點P在拋物線上，直線PQ∥BC交x軸于點Q，連接BQ．
①若含45°角的直角三角板如圖2所示放置．其中，一個頂點與點C重合，直角頂點D在BQ上，另一個頂點E在PQ上．求直線BQ的函數解析式；
②若含30°角的直角三角板一個頂點與點C重合，直角頂點D在直線BQ上，另一個頂點E在PQ上，求點P的坐標．

Answer 1

【小題1】解：（1）∵拋物線y=﹣x²+bx+c的對稱軸為直線x=1
∴2b=1,∴b=
又∵拋物線最小值為3
∴3=-，∴c=
∴拋物線解析式為：
【小題2】2）把x=0代入拋物線得：y=，
∴點A（0，）．--------------------------------------3分
∵拋物線的對稱軸為x=1，
∴OC=1．
【小題3】（3）①如圖：∵此拋物線與y軸交于點A，頂點為B
∴B（1，3）
分別過點D作DM⊥x軸于M，DN⊥PQ于點N，
∵PQ∥BC，∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，
∴DMQN是矩形．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DC=DE，∠CDM=∠EDN
∴△CDM≌△EDN
∴DM=DN，
∴DMQN是正方形，
∴∠BQC=45°
∴CQ=CB=3
∴Q（4，0）
設BQ的解析式為：y=kx+b，
把B（1，3），Q（4，0）代入解析式得：k=﹣1，b=4．
所以直線BQ的解析式為：y=﹣x+4．-------------------------------6分
②所求的點P的坐標為：P₁（1+，），P₂（1+3，﹣），P₃（1﹣，），
P₄（1﹣3，﹣）．解析:
略