Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作圓O與斜邊AC交于點D，E為BC邊的中點，連接DE．
（1）DE與⊙O什么位置關系？并說明理由．
（2）連接OE、AE，當△ABC滿足什么條件時，四邊形AOED是平行四邊形？在此條件下，sin∠CAE的值是多少？

Answer 1

分析：（1）可求得∠EDO=90°，即可得到DE是⊙O的切線；
（2）根據平行的性質可得知：∠CAB=45°所以，sin∠CAE=

10

10

．

解答：解：（1）DE與⊙O相切，理由如下：
連接BD，DO（如圖1）；
∵AB為⊙O直徑．
∴∠ADB=90°．
∴△CDB為直角三角形．
∵E為BC中點；
∴DE=

1

2

BC，BE=CE=

1

2

BC，
∴DE=BE．
∴∠EDB=∠EBD．（3分）
∵DO=OB；
∴∠ODB=∠OBD．
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠DBE=∠ABC=90°．
即∠EDO=90°．
∴DE與⊙O相切于點D．（3分）

（2）當∠CAB=45°時，四邊形AOED是平行四邊形．
理由如下：
∵∠ADB=90°，∠CAB=45°；
∴∠DBA=∠CAB=45°．
∵AO=BO；
∴DO⊥AB．
∵DE切⊙O于D；
∴DE⊥DO．
∴DE∥AO．（5分）
可證△DOE≌△BOE，從而∠1=∠2=45°．
∴∠CAO=∠EOB．
∴OE∥AD．
∴四邊形AOED為平行四邊形．（6分）
作EF⊥AC于F（如圖2），設EF=k，可得BE=CE=

2

k，AB=2

2

k，
從而得AE=

10

k．
∴sin∠CAE=

EF

AE

=

k

10 k

=

10

10

．（8分）

點評：主要考查了切線的判定方法和平行四邊形的判定及其性質的運用．要掌握這些基本性質才會在綜合習題中靈活運用．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．