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如圖已知:直線y=-x+3交x軸于點A,交y軸于點B,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C(1,0)三點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點D的坐標為(-1,0),在直線y=-x+3上有一點P,使△ABO與△ADP相似,求出點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,在x軸下方的拋物線上,是否存在點E,使△ADE的面積等于四邊形APCE的面積?如果存在,請求出點E的坐標;如果不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)首先確定A、B、C三點的坐標,然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式;
(2)△ABO為等腰直角三角形,若△ADP與之相似,則有兩種情形,如答圖1所示.利用相似三角形的性質(zhì)分別求解,避免遺漏;
(3)如答圖2所示,分別計算△ADE的面積與四邊形APCE的面積,得到面積的表達式.利用面積的相等關(guān)系得到一元二次方程,將點E是否存在的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程是否有實數(shù)根的問題,從而解決問題.需要注意根據(jù)(2)中P點的不同位置分別進行計算,在這兩種情況下,一元二次方程的判別式均小于0,即所求的E點均不存在.
解答:解:(1)由題意得,A(3,0),B(0,3)
∵拋物線經(jīng)過A、B、C三點,
∴把A(3,0),B(0,3),C(1,0)三點分別代入y=ax2+bx+c,
得方程組…3分
解得:
∴拋物線的解析式為y=x2-4x+3             …5分

(2)由題意可得:△ABO為等腰三角形,如答圖1所示,
若△ABO∽△AP1D,則
∴DP1=AD=4,
∴P1(-1,4)…7分
若△ABO∽△ADP2 ,過點P2作P2 M⊥x軸于M,AD=4,
∵△ABO為等腰三角形,
∴△ADP2是等腰三角形,
由三線合一可得:DM=AM=2=P2M,即點M與點C重合,
∴P2(1,2)…10分
綜上所述,點P的坐標為P1(-1,4),P2(1,2);

(3)不存在.
理由:如答圖2,設(shè)點E(x,y),則
S△ADE=
①當P1(-1,4)時,
S四邊形AP1CE=S△ACP1+S△ACE==4+|y|…11分
∴2|y|=4+|y|,
∴|y|=4
∵點E在x軸下方,
∴y=-4,代入得:x2-4x+3=-4,即x2-4x+7=0,
∵△=(-4)2-4×7=-12<0
∴此方程無解…12分
②當P2(1,2)時,
S四邊形AP2CE=S△ACP2+S△ACE==2+|y|,
∴2|y|=2+|y|,
∴|y|=2
∵點E在x軸下方,
∴y=-2,代入得:x2-4x+3=-2,即x2-4x+5=0,
∵△=(-4)2-4×5=-4<0
∴此方程無解
綜上所述,在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E.…14分
點評:本題重點考查了拋物線的相關(guān)性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、圖形面積的計算以及一元二次方程根的判別式,涉及的知識點較多.注意在(2)(3)問中,均有兩種情形,需要分類討論計算,避免漏解;(3)問中是否存在點E的問題,轉(zhuǎn)化為一元二次方程實數(shù)根個數(shù)的問題,需要注意這種解題方法.作為中考壓軸題,本題綜合性強,難度較大,有利于提高學生的綜合解題能力,是一道不錯的題目.
練習冊系列答案
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(1)求拋物線的解析式;
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