Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的解為-1，3；②abc＞0；③2a+b=0；④4a+2b+c＞0；⑤5a+2c＞b中正確的有

①③④

．（填寫正確的序號）

Answer 1

分析：由拋物線與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸為x=1，利用對稱性得到另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出ax²+bx+c=0的兩個解為-1，3，選項(xiàng)①正確；由拋物線開口向下得到a小于0，對稱軸在y軸右側(cè)，得到b大于0，與y軸交點(diǎn)在正半軸得到c大于0，進(jìn)而得到abc小于0，選項(xiàng)②錯誤，由對稱軸為x=1，利用對稱軸公式得到b=-2a，即2a+b=0，選項(xiàng)③正確；再由x=2時對應(yīng)的函數(shù)值大于0，將x=2代入函數(shù)解析式得到4a+2b+c大于0，選項(xiàng)④正確；由a小于0，將a變形為3a-2b，將b=-2a代入，得到3a+b小于0，不等式左右兩邊都加上b，再將c=b-a代入，即可得到選項(xiàng)⑤錯誤，綜上，得到所有正確的選項(xiàng)序號．

解答：解：∵拋物線與x軸一個交點(diǎn)為（3，0），且對稱軸為x=1，
∴拋物線與x軸另一個交點(diǎn)為（-1，0），
即關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的解為-1，3，選項(xiàng)①正確；
∵二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸在y軸右側(cè)，與y軸交點(diǎn)在正半軸，
∴a＜0，-

b

2a

=1，整理得：b=-2a，即2a+b=0，選項(xiàng)③正確，c＞0，
∴a＜0，b＞0，c＞0，即abc＜0，選項(xiàng)②錯誤；
又x=2時，對應(yīng)的函數(shù)值大于0，
∴4a+2b+c＞0，選項(xiàng)④正確；
∵a＜0，且b=-2a，
∴3a-2a＜0，即3a+b＜0，
∴3a+2b＜b，又a-b+c=0，即c=b-a，
∴5a+2（b-a）＜b，選項(xiàng)⑤錯誤，
則正確的選項(xiàng)有：①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），a的符號由拋物線的開口方向決定；b的符號由對稱軸的位置與a的符號決定；c的符號由拋物線與y軸交點(diǎn)的位置決定；拋物線與x軸有交點(diǎn)時，兩交點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，此外還要根據(jù)圖象判斷x=1，-1，2等特殊點(diǎn)時對應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)．