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如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,BT為⊙O的切線(xiàn),B為切點(diǎn),P為AB上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線(xiàn)交直線(xiàn)BT于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F
(I)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí),(如圖1),求證:PA•PB=PE•PF;
(II)當(dāng)點(diǎn)P為線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)時(shí)(如圖2),第(1)的結(jié)論還成立嗎?如果成立請(qǐng)證明;如果不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(Ⅰ)利用圓周角、弦切角間的關(guān)系證明△APF∽△BPE,根據(jù)成比例線(xiàn)段證明 PA•PB=PE•PF 成立.
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),(Ⅰ)的結(jié)論仍成立.先證明∠AFP=∠PBE,再由∠BPE=∠FPA,可得△PAF∽△PEB,根據(jù)成比例線(xiàn)段證明 PA•PB=PE•PF 成立.
解答:(Ⅰ)證明:如圖1,∵EB為⊙O的切線(xiàn),
∴∠ACB=∠ABE,
∵EF∥BC,
∴∠AFP=∠ACB,故∠AFP=∠ABE.
由于∠APF=∠EPB,∴△APF∽△BPE,
=
∴PA•PB=PE•PF.

(Ⅱ)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),(Ⅰ)的結(jié)論仍成立.
∵EB為⊙O的切線(xiàn),
∴∠ACB=∠ABT,
∵EF∥BC,
∴∠ACB=∠ABT=∠AFP,
∴∠AFP=∠PBE.
再由∠BPE=∠FPA,可得△PAF∽△PEB,
=
∴PA•PB=PE•PF.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查圓的相交弦及切線(xiàn)的性質(zhì),用三角形全等證明線(xiàn)段間的關(guān)系,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖,△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,將△ABC沿射線(xiàn)BC向右平移到△DCE,連接AD、BD,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(  )

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精英家教網(wǎng)如圖,△ABC是銳角三角形,以BC為直徑作⊙O,AD是⊙O的切線(xiàn),從AB上一點(diǎn)E作AB的垂線(xiàn)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,若
AB
AF
=
AE
AC

求證:AD=AE.

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(2013•玉林)如圖,△ABC是⊙O內(nèi)接正三角形,將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△DEF,DE分別交AB,AC于點(diǎn)M,N,DF交AC于點(diǎn)Q,則有以下結(jié)論:①∠DQN=30°;②△DNQ≌△ANM;③△DNQ的周長(zhǎng)等于AC的長(zhǎng);④NQ=QC.其中正確的結(jié)論是
①②③
①②③
.(把所有正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,△ABC是等邊三角形,D是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且∠CDE=30°.若AD=5,求DE的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,△ABC是等邊三角形,則∠ABD=
120
120
度.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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