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如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為6,動點M在棱A1B1上.
(1)求證:DM⊥AD1
(2)當M為A1B1的中點時,求CM與平面DC1所成角的正弦值;
(3)當A1M=
34
A1B1時,求點C到平面D1DM的距離.
分析:(1)連A1D、B1C,由正方體性質,AD1⊥A1D,A1B1⊥AD1證出AD1⊥平面A1DCB1,即可證出AD1⊥DM.
(2)在平面A1C1內過點M作MN∥B1C1,交D1C1于N,則∠MCN為CM與平面DC1所成角.在三角形MNC中求出.
(3)由于CC1∥平面D1DMC,將點C到平面D1DM的距離.轉化成C1到平面D1DM的距離,作C1H⊥D1M于點H,證出C1H⊥平面D1DM,則C1H為所求距離.
解答:解:(1)證明:連A1D、B1C,由正方體性質,AD1⊥A1D,A1B1⊥AD1
∴AD1⊥平面A1DCB1
DM?平面A1DCB1,∴AD1⊥DM
(2)在平面A1C1內過點M作MN∥B1C1,交D1C1于N,
則MN⊥平面DC1,連NC.
則∠MCN為CM與平面DC1所成角 …(6分)
∵MN=B1C1=6,MC=
B1C2+MB12
=9
∴sin∠MCN=
MN
MC
=
2
3
,即所求正弦值為
2
3
.…(8分)
(3)連C1M,作C1H⊥D1M于點H,∵DD1⊥平面A1C1∴D1D⊥C1H
∵CC1∥D1D
D1D?平面D1DM
CC1?平面D1DM
∴CC1∥平面D1DM
連C1M,作C1H⊥D1M于點H,∵DD1⊥平面A1C1∴D1D⊥C1H
∴C1H⊥平面D1DM,C1H為C1到平面D1DM的距離即 C到平面D1DM的距離為C1H…(10分)
1
2
C1H•D1M=S△D1C1M=18,而D1M=
A1D12+A1M2
=
15
2
 
∴C1H=
24
5

∴C到平面D1DM的距離為
24
5
…(12分)
點評:本題主要考查空間角,距離的計算,線面垂直,面面垂直的定義,性質、判定,考查了空間想象能力、計算能力,分析解決問題能力.空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法.
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EF
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13
AB

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(2)若正方體的棱長為3,求幾何體GHC1-EFC的體積.

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