Question

（2009•瀘州）如圖，已知二次函數y=-x²+bx+c（c＜0）的圖象與x軸的正半軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，且OC²=OA•OB．
（1）求c的值；
（2）若△ABC的面積為3，求該二次函數的解析式；
（3）設D是（2）中所確定的二次函數圖象的頂點，試問在直線AC上是否存在一點P，使△PBD的周長最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）OA與OB的長，就是方程=-x²+bx+c=0的兩解，根據韋達定理就可以表示出OA•OB=-2c，OC的長是函數與y軸的交點的縱坐標的絕對值，因而OC²=c²．根據OC²=OA•OB就可以求出c的值．
（2）S_△ABC=AB•OC，根據韋達定理可以表示出AB的長，AB邊上的高就是C點的縱坐標的絕對值，根據△ABC的面積為3就可以求出b的值，從而求出函數的解析式．
（3）根據二次函數的求根公式就可以求出二次函數的頂點D坐標．過B作BE⊥AC并延長BE到F使EF=BE，則點F和B關于直線AC對稱，連接DF，交直線AC于點P，所作的點P滿足△PBD的周長最小．可以求出直線AC與直線DF的交點．
解答：解：（1）設A（x₁，0），B（x₂，0），
∵x²-2bx-2c=0，則x₁+x₂=2b，x₁•x₂=-2c
∵二次函數y=的圖象與y軸交于點C，
∴C（0，c），
由已知OC²=OA•OB得c²=x₁•x₂
∴c²=-2c，
又∵c＜0，
∴c=-2．

（2）S_△ABC=AB•OC=|x₂-x₁|•|-c|
=|x₂-x₁|=
當S_△ABC=3時，，得，
又∵該二次函數的對稱軸在y軸的右側，
∴b＞0，
∴b=，
∴該二次函數的解析式為y=

（3）過B作BE⊥AC并延長BE到F使EF=BE，則點F和B關于直線AC對稱，
連接DF，交直線AC于點P，則PB+PD=PF+PD=FD，
若直線AC上另外選一點P''，則P''B+P''D=P''F+P''D＞FD，
∴PB+PD＜P''B+P''D，
∴直線AC上的所有點中，存在P到點B和點D的距離和最小，而DB是定值，故所作的點P滿足△PBD的周長最小．
作DH⊥x軸，垂足為H，作FG⊥x軸于G點，
由二次函數
∴A（1，0），B（4，0），D（）
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∵∠BEA=∠AOC=90°，∠BAE=∠OAC，
∴△EAB∽△OAC，
∴，而AB=3
∴AE=，BE=，
∴BF=，
同理，由Rt△FGB∽Rt△AEB得，=，=，
∴FG=，GB=，
∴OH=，
∴，
設過點D（，），F（-）的直線的解析式為y=kx+n，則
，
解得，
∴y=-，
而過點A（1，0）和C（0，-2）的直線的解析式為y=2x-2，
由，
得．
∴點P（）為所求．
點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系．