Question

設直線kx+（k+1）y=1（k為自然數）與兩坐標軸所圍成的圖形的面積為S_k（k=1，2，3，…，2000）．則S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₀=______．

Answer 1

如圖：直線kx+（k+1）y=1（k為正整數），與x軸的交點坐標為（

1

k

，0），與y軸的交點坐標為（0，

1

k+1

）．
則S_△ABO=

1

2

×

1

k

×

1

k+1

，
S₁=

1

2×2

；
S₂=

1

2×2×3

，
…
S₂₀₀₀=

1

2×2000×2001

，
S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₀=

1

2×2

+

1

2×2×3

+…+

1

2×2000×2001

=

1

2

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2000×2001

）
=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…

1

2000

-

1

2001

）
=

1000

2001

．
故答案為：

1000

2001

．