Question

如圖，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3），動點M，N同時從B點出發，分別沿B→A，B→C運動，速度是1厘米/秒．過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q，當點N到達終點C時，點M也隨之停止運動，設運動時間為t秒。

（1）若a=4厘米，t=1秒，則PM=______厘米；
（2）若a=5厘米，求時間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；
（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；
（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）；
（2），使，相似比為
（3）∵，
∴
即
∵
∵
當梯形與梯形的面積相等，即


化簡得
∵
∴
則
∴。
（4）∵時，梯形與梯形的面積相等
∴梯形的面積與梯形的面積相等即可，
則
∴
把代入，解得
所以
所以，存在a，當時梯形與梯形的面積、梯形的面積都相等。