Question

10．已知圓的半徑為5，弦AB∥CD，且AB=8，CD=6，則弦AB與CD的距離為1或7．

Answer 1

分析 分兩種情況考慮：當兩條弦位于圓心O一側時，如圖1所示，過O作OE⊥CD，交CD于點E，交AB于點F，連接OA，OC，由AB∥CD，得到OE⊥AB，利用垂徑定理得到E與F分別為CD與AB的中點，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的長，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的長，由OE-OF即可求出EF的長；當兩條弦位于圓心O兩側時，如圖2所示，同理由OE+OF求出EF的長即可．

解答 解：分兩種情況考慮：
當兩條弦位于圓心O一側時，如圖1所示，
過O作OE⊥CD，交CD于點E，交AB于點F，連接OA，OC，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∴E、F分別為CD、AB的中點，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=3，AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=4，
在Rt△AOF中，OA=5，AF=4，
根據勾股定理得：OF=$\sqrt{O{A}^{2}-A{F}^{2}}$=3，
在Rt△COE中，OC=5，CE=3，
根據勾股定理得：OE=$\sqrt{O{C}^{2}-C{E}^{2}}$=4，
則EF=OE-OF=4-3=1；
當兩條弦位于圓心O兩側時，如圖2所示，
同理可得EF=4+3=7，
綜上，弦AB與CD的距離為1或7．
故答案為：1或7．

點評 此題考查了垂徑定理，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握垂徑定理是解本題的關鍵．