Question

已知直線y=-4x-4與x軸交于點A，與y軸交于點C，直線y=x-b過點C，與x軸交于點B．
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）動點D從點A出發，沿線段AB向終點B運動，同時，動點E從點B出發，沿線段BC向終點C運動，速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，當其中一個動點到達終點時，他們都停止運動．
①連接ED，設△BDE的面積為S，求S與t的函數關系式．
②在運動過程中，當△BDE為等腰三角形時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直線y=-4x-4中，令y=0即可求得A的橫坐標，則A的坐標可以求得，令x=0，即可求得C的縱坐標，則A、C的坐標可以求得，把C的坐標代入y=x-b的解析式，即可求得b的值，則B的坐標可以求得；
（2）①作EF⊥x軸于點F，則AD=BE=x，△BEF是等腰直角三角形，利用t表示出BD，EF的長，利用三角形的面積公式即可求得函數的解析式；
②當BD=BE時，BD=5-t，則可以得到5-t=t，求得t的值；
當BD=DE時，△BEF是等腰直角三角形，則BE是斜邊，因而BE=BD，則可以得到關于t的方程，求得t的值；
當DE=BE時，△BEF是等腰直角三角形，則BD是斜邊，因而BD=BE，則可以得到關于t的方程，求得t的值．
解答：解：（1）在y=-4x-4中，令y=0
得：-4x-4=0，
解得：x=-1，則A的坐標是（-1，0），
令x=0，解得：y=-4，則C的坐標是（0，-4），
代入y=x-b得：-b=-4，解得：b=4，
則直線的解析式是：y=x-4，
令y=0，解得：x=4，則B的坐標是（4，0）．

（2）①作EF⊥x軸于點F．
∵A的坐標是（-1，0），B的坐標是（4，0），C的坐標是（0，-4），
∴AB=5，OB=4，OC=4
則BD=5-t，△OBC是等腰直角三角形．
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BE=t，
∴S=BD•EF=×t（5-t），
即函數解析式是：S=t-t²．

②當BD=BE時，BD=5-t，則可以得到5-t=t，解得：t=；
當BD=DE時，△BEF是等腰直角三角形，則BE是斜邊，因而BE=BD，則t=（5-t）
解得：t=10-5；
當DE=BE時，△BEF是等腰直角三角形，則BD是斜邊，因而BD=BE，即5-t=t，解得：t=5（-1）．
則t=或10-5或5（-1）．
點評：本題考查了一次函數與等腰直角三角形的性質的綜合應用，正確對等腰三角形進行討論，在后邊的兩種情況下，認識到△BEF是等腰直角三角形是解題的關鍵．