Question

已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，BE平分∠DBC交DC于E點，交DF于M，F是BC延長線上一點，且CE=CF．
（1）求證：BM⊥DF；
（2）若正方形ABCD的邊長為2，求ME•MB．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過全等三角形△BCE≌△DCF的對應角∠EBC=∠FDC、對頂角∠BEC=∠DEM可以證得△BCE∽△DME，然后由相似三角形的對應角相等推知∠BCE=∠DME=90°，即BM⊥DF；
（2）由等腰三角形的判定與性質知BM是等腰三角形BDF的中垂線．根據相似三角形△BMF∽△DME的對應邊成比例、等腰三角形的性質列出比例式=，即ME•MB=MD²，最后在直角△DCF中利用勾股定理來求MD²的值．
解答：（1）證明：在△BCE和△DCF中，
∵，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠EBC=∠FDC（全等三角形的對應邊相等），即∠EBC=∠EDM，
在△BCE和△DME中，
∵，
∴△BCE∽△DME，
∴∠BCE=∠DME=90°（相似三角形的對應角相等），即BM⊥DF；

（2）解：∵BC=2，
∴BD=2．
又∵BE平分∠DBC交DF于M，BM⊥DF，
∴BD=BF（等腰三角形“三合一”的性質），DM=FM，
∴CF=2-2．
在△BMF和△DME中，
∠MBF=∠MDE，∠BMF=∠DME=90°，
∴△BMF∽△DME，
∴=，
∴=，即ME•MB=MD²，
∵DC²+FC²=（2DM）²，即2²+（2-2）²=4DM²，
∴DM²=4-2，即ME•MB=4-2．
點評：本題綜合考查了全等三角形、正方形、相似三角形的有關知識．等腰三角形性質問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應當優先選擇簡便方法來解決．