Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點（1，0），一條直線y=ax+b，它們的系數(shù)之間滿足如下關(guān)系：a＞b＞c．
（1）求證：拋物線與直線一定有兩個不同的交點；
（2）設(shè)拋物線與直線的兩個交點為A、B，過A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為A₁、B₁．令，試問：是否存在實數(shù)k，使線段A₁B₁的長為．如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意得：a+b+c=0
ax+b=ax²+bx+c
∵a＞b＞c
∴a+b＞0，a＞0，c＜0，
∴ax²+（b-a）x+c-b=0，
∴ax²+（b-a）x-a-b-b=0，
∴△=（b-a）²-4a（-a-2b）=（a+b）²+4a（a+b）＞0，
∴拋物線與直線一定有兩個不同的交點；
（2）存在
設(shè)點A，B的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
∵ax²+（b-a）x+c-b=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
根據(jù)題意得：A₁B₁=|x₁-x₂|===
=4
∴，
∴k²-4k-32=0，
∴k=8或k=-4，
∵a＞0，c＜0
∴k=-4
∴當(dāng)k=-4時，使線段A₁B₁的長為．
分析：（1）考查了判別式與函數(shù)交點坐標(biāo)的關(guān)系，要注意△=b²-4ac，當(dāng)△＞0時，有兩個交點，當(dāng)△=0時，有一個交點，當(dāng)△＜0時，沒有交點；
（2）此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，要注意此線段的長即是兩個交點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)的差，用根與系數(shù)的關(guān)系表示出，變形即可求得．
點評：此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，要注意方程判別式的應(yīng)用，以及根與系數(shù)的關(guān)系；
這是中考中的難點，要注意認(rèn)真分析．