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【題目】如圖,在菱形ABCD中,點M、N在直線BD上,點M在N點左側(cè),AM∥CN.

(1)如圖1,求證:BM=DN;
(2)如圖2,當(dāng)∠ABC=90°,點M,N在線段BD上時,求證:BM+BN= AB;
(3)如圖3,當(dāng)∠ABC=60°,點M在線段DB的延長線上時,直接寫出BM,BN,AB三者的數(shù)量關(guān)系.

【答案】
(1)

解:∵四邊形ABCD為菱形,

∴AB=CD,AB∥CD.

∴∠ABM=∠CDN.

∵AM∥CN,

∴∠AMN=∠MNC.

∴∠AMB=∠CND.

在△AMB和△CND中,

∴△AMB≌△CND.

∴MB=DN


(2)

解:由(1)得BM=DN.

∴BN+BM=DB.

當(dāng)∠ABC=90°時,由勾股定理得;BD= = = AB.

∴MB+BN= AB


(3)

解:NB﹣BM= AB.

如圖1所示:過點A作AE⊥MN,垂足為E.

由(1)得BM=DN.

又∵BD=BN﹣DN,

∴BD=BN﹣BM.

當(dāng)∠ABC=60°時,∠ABE=30°,

又∵∠AEB=90°,

∴AE= AB.

∴在Rt△ABE中,BE= = = AB.

∵AB=AD,AE⊥BD,

∴BE=ED.

∴BD= AB.

∴BN﹣BM= AB.

由勾股定理得;BD= = = AB.

∴MB+BN= AB


【解析】(1)由菱形的性質(zhì)可知AB=CD,AB∥CD,然后由平行線的性質(zhì)和補角的性質(zhì)∠ABM=∠CDN,∠AMB=∠CND,接下來依據(jù)AAS證明△AMB≌△CND,由全等三角形的性質(zhì)可得到MB=DN;(2)由(1)得BM=DN,故此可得到BN+BM=DB,當(dāng)∠ABC=90°時,在Rt△ABD中,由勾股定理可求得BD與AB的關(guān)系,從而得到BM+BN= AB;(3)過點A作AE⊥MN,垂足為E.由BM=DN可證明BD=BN﹣BM,當(dāng)∠ABC=60°時,∠ABE=30°在Rt△ABE中,依據(jù)勾股定理可求得BE與AB的關(guān)系,然后再依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到AB與BD的關(guān)系,于是得到BM,BN,AB三者的數(shù)量關(guān)系.
【考點精析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能正確解答此題.

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(1)如圖1,當(dāng)點EF分別在線段ABBC上時,則線段DEAF的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 .

(2)如圖2,當(dāng)點E在線段AB延長線上時,將線段AE沿AF進行平移至FG,連接DG.

①依題意將圖2補全;

②小亮通過觀察、實驗提出猜想:在點E運動的過程中,始終有.

小亮把這個猜想與同學(xué)們進行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:

想法1:連接EG,要證明,只需證四邊形FAEG是平行四邊形及△DGE是等腰直角三角形.

想法2:延長ADGF交于點H,要證明,只需證△DGH是直角三角形.

圖1 圖2

請你參考上面的想法,幫助小亮證明.(一種方法即可)

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