Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，連接FC．（AB＞AE）．
（1）△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結論；若不相似，請說明理由；
（2）設，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結論并求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求兩三角形相似，已知條件有一組直角，我們只需再證得一組對應角相等即可得出兩三角形相似，根據FE⊥EC，因此∠AEF和∠DCE都是∠DEC的余角，因此∠AEF=∠DCE，我們只要再得出∠DCE=∠FCE即可，可通過構建全等三角形來求解，延長FE交CD于G，我們不難得出△AEF和△GED全等，那么EF=EG，再根據一組直角和一條公共邊我們可得出△FEC和△GEC全等，即可得出∠FCE=∠GCE也就得出了∠AEF=∠ECF，于是就湊齊了兩三角形相似的條件．
（2）要想使兩三角形相似，已知的條件有一組直角，那么分兩種情況進行討論：
當∠AFE=∠FCB時，那么∠AFE就和∠BFC互余，因此∠EFC就是直角，而∠FEC也是直角因此這種情況是不成立的．
當∠AEF=∠FCB時，AE：BC=AF：BF，那么由于E是AD中點，因此BC=2AE，所以我們可得出BF=2AF，即AB=3AF，又根據（1）中AF=GD，AB=CD，我們可在△CEG中根據△EGD和△EDC相似，得出關于GD、ED、DC的比例關系，也就是AF、AB、AE的比例關系，有了AB=3AF，就能求出ED與AF的比例關系，也就求出了BC與AF的比例關系，以AF為中間值即可得出AB與BC的比例關系，也就求出了k的值．
解答：解：（1）△AEF∽△ECF．證明如下：
延長FE與CD的延長線交于G，
∵E為AD的中點，AE=DE，∠AEF=∠GED，
∴Rt△AEF≌Rt△DEG．
∴EF=EG．
∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°，
∴Rt△EFC≌Rt△EGC．
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．
又∵∠A=∠FEC=90°，
∴Rt△AEF∽Rt△ECF．

（2）設AD=2x，AB=b，DG=AF=a，則FB=b-a，
∵∠GEC=90°，ED⊥CD，
∴ED²=GD•CD
∴x²=ab，
假定△AEF與△BFC相似，則有兩種情況：
一是∠AFE=∠BCF；則∠AFE與∠BFC互余，于是∠EFC=90°，因此此種情況是不成立的．
二是∠AFE=∠BFC．
根據△AEF∽△BCF，
于是：=，即=，得b=3a．
所以x²=ab=3a²，因此x=a，
于是k====．
點評：本題主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定和性質，根據相似三角形得出相關線段間的比例關系是解題的關鍵．