Question

如圖，以△ABC的邊BC為弦，在點A的同側畫交AB于D，且∠BDC=90°+∠A，點P是上的一個動點．
（1）判定△ADC的形狀，并說明理由；
（2）若∠A=70°，當點P運動到∠PBA=∠PBC=15°時，求∠ACB和∠ACP的度數．
（3）當點P在上運動時，過點P畫直線MN⊥AP，分別交AB、AC于點M、N，是否存在這樣的點P，使得△BMP和△BPC和△CPN彼此相似？請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ADC是等腰三角形．
∵∠BDC=，
∴∠ADC=，
∴∠ACD=-∠A=，
∴∠ACD=∠ADC，
∴△ADC是等腰三角形．

（2）∵∠A=70°，∠PBA=∠PBC=15°，
∴∠ACB=180°-70°-2×15°=80°，
∵∠BPC=∠BDC=，
∴∠PCB=180°-15°-125°=40°，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=80°-40°=40°．
答：∠ACB為80°，∠ACP為40°．

（3）當點P運動至的中點時，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
∵P運動至的中點，
∴∠ABP=∠CBP，
設∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，
∴∠PCB=180-y-（）=90-y-，
∵∠ACB=180-x-2y，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=（180-x-2y）-（90-y-）=90-y-，
∴∠PCB=∠ACP，
∴PC平分∠ACB．
∴當點P運動至的中點時，點P是△ABC的角平分線的交點．
∴AP平分∠BAC．
∴∠BMP=∠CNP=90+=∠BPC，
∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
分析：（1）根據三角形的內角和為180°與鄰補角的性質，即可求得∠ACD=∠ADC，又由等角對等邊，即可求得△ADC是等腰三角形；
（2）利用三角形的內角和定理，可得∠ACB=80°，根據已知即可求得∠BPC=∠BDC=125°，然后可得∠PCB與∠ACP的度數；
（3）由當點P運動至的中點時，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似，可得∠ABP=∠CBP，即可設∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，利用方程表達可得∠PCB=∠ACP，即可得到∠BMP=∠CNP=90+=∠BPC，問題得證．
點評：本題考查了三角形內角和定理，鄰補角的性質以及相似三角形的判定與性質．解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．