Question

某玩具由一個圓形區域和一個扇形區域組成，如圖，在⊙O₁和扇形O₂CD中，⊙O₁與O₂C、O₂D分別相切于A、B，∠CO₂D=60°，直線O₁O₂與⊙O₁、扇形O₂CD分別交于E、F兩個點，EF=24cm，設⊙O₁的半徑為xcm，

（1）用含x的代數式表示扇形O₂CD的半徑；

（2）若⊙O₁和扇形O₂CD兩個區域的制作成本分別為0.45元／cm²和0.06／cm²元，當⊙O₁的半徑為多少時，該玩具成本最小？

 

Answer 1

【答案】

（1）（24－3x）cm；（2）4cm

【解析】

試題分析：（1）連接O₁A.根據切線的性質可得O₁A⊥O₂C，O₂E平分∠CO₂D，由∠CO₂D=60°可得∠AO₂O₁=∠CO₂D=30°，在Rt△O₁AO₂中，根據∠AO₂O₁的正弦函數可表示出O₁O₂的長，從而得到結果；

（2）設該玩具的制作成本為y元，根據“⊙O₁和扇形O₂CD兩個區域的制作成本分別為0.45元／cm²和0.06／cm²元”，再結合圓的面積公式、扇形的面積公式根據二次函數的性質求解即可.

（1）連接O₁A.

∵⊙O₁與O₂C、O₂D分別切一點A、B，

∴O₁A⊥O₂C，O₂E平分∠CO₂D.

∵∠CO₂D=60°，

∴∠AO₂O₁=∠CO₂D=30°.

在Rt△O₁AO₂中，，

∴O₁O₂=AO₁sin∠AO₂O₁ =xsin30°=2x.   

∵EF=24cm，

∴FO₂=EF－EO₁－O₁O₂=24－3x，即扇形O₂CD的半徑為（24－3x）cm；

（2）設該玩具的制作成本為y元，由題意得

∴當x=4時，y的值最小

答：當⊙O₁的半徑為4cm時，該玩具的制作成本最小。

考點：二次函數的應用

點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．