Question

已知：如圖所示，在△ABC中，BC=100，邊BC上的高為50．在這個三角形內有一個內接矩形PQRS．
（1）若矩形的長PQ與寬PS的比是3：1，求這個矩形的長與寬；
（2）當這個矩形面積最大時，它的長與寬各是多少？

Answer 1

分析：（1）設矩形的長PQ=x，再根據相似三角形的判定定理得出△APQ∽△ABC，根據相似三角形的對應邊成比例可用x表示出AE及DE的長，再根據長PQ與寬PS的比是3：1即可得出x的值，故可得出結論；
（2）根據（1）中用x表示出的矩形的長與寬可得出矩形面積的表達式，故可得出它的長與寬．

解答：解：（1）設矩形的長PQ=x，
∵PQ∥BC，BC=100，邊BC上的高為50，
∴△APQ∽△ABC，
∴

AE

AD

=

PQ

BC

，即

AE

50

=

x

100

，解得AE=

1

2

x，
∴DE=PS=50-

1

2

x，
∵矩形的長PQ與寬PS的比是3：1，
∴3（50-

1

2

x）=x，解得x=60，
∴PQ=60，PS=20；

（2）∵由（1）知PQ=x，PS=50-

1

2

x，
∴S_矩形=PQ•PS=x•（50-

1

2

x）=-

1

2

x²+50x（0＜x＜100），
當x=-

b

2a

=-

50

2×(- 1 2 )

=50時，這個矩形面積最大，
∵x=50在定義域內，
∴當x=50時，這個矩形面積最大，
∴此時PQ=50，PS=50-

1

2

×50=25．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵．