Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AC平分∠DAB．

1.求證：AD⊥DC

2.若，， 求的值以及AB的長．

 

Answer 1

 

1.連接OC

∵OC=OA

∴∠CAO=∠OCA             ---------------------------------1分

又∵CD與圓O相切

∴∠OCD=90°

即∠OCA+∠DCA=90°

∴∠CAO+∠DCA=90°

又∵AC平分∠DAB

∴∠DAC=∠CAO

∴∠DAC+∠DCA=90°

∴∠ADC=90°

即AD⊥DC                 ---------------------------------4分

2.連接BC

∵AD⊥DC∴

因為AB為圓O的直徑

∴∠ACB=90°

∴∠ADC=∠ACB=90°

又∵∠DAC=∠CAO

∴△ADC∽△ACB

∴即    

∴                        ---------------------------------2分

       ---------------------------------3分   

解析:（1）連接OC，根據切線的性質得到OC與CD垂直，進而得到∠OCA+∠DCA=90°，由AC為角平分線，根據角平分線定義得到兩個角相等，又OA=OC，根據等邊對等角得到又得到另兩個角相等，等量代換后得到∠DAC=∠OCA，根據等角的余角相等得到∠DCA+∠DAC=90°，從而得到∠ADC為直角，得證；

（2）先用勾股定理求出AC的長度，再利用△ADC∽△ACB求出AB的長度，然后利用直角三角形的性質求出的值.