Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，延長BC到點F使CF=AE．
（1）求證：△ADE≌△CDF；
（2）AH交ED于點G，求證：AH⊥ED，并求AG的長度．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質推出∠DAB=∠DCB=90°，AD=DC，根據SAS即可證出答案；
（2）根據正方形的性質推出AE=BH，根據SAS證△DAE≌△ABH，推出∠EDA=∠BAH，求出∠AED+∠BAH=90°，根據三角形的內角和定理求出∠AGE即可；根據三角形的面積求出AG即可．

解答：（1）證明：∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠DCB=90°，AD=DC，
∴∠DCF=90°=∠DAE，
∵CF=AE，
∴△ADE≌△CDF．

（2）證明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=AD，∠DAB=∠B=90°，
∵E為AB中點，H為BC的中點，
∴AE=BH，
∴△DAE≌△ABH，
∴∠EDA=∠BAH，
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠AED+∠BAH=90°，
∴∠AGE=180°-90°=90°，
∴AH⊥ED．

在△EAD中，由勾股定理得：DE=

AD2+AE2

=

22+12

=

5

，
由三角形的面積公式得：AE×AD=DE×AG，
∴1×2=

5

×AG，
∴AG=

2 5

5

，
答：AG的長是

2 5

5

．

點評：本題主要考查對三角形的面積，正方形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，勾股定理，垂線等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．