Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，動點P從點A出發，沿A→D→C→B方向移動，動點Q從點A出發，在AB邊上移動．設點P移動的路程為x，點Q移動的路程為y，線段PQ平分梯形ABCD的周長．
（1）求y與x的函數關系式，并求出x，y的取值范圍；
（2）當PQ∥AC時，求x，y的值；
（3）當P不在BC邊上時，線段PQ能否平分梯形ABCD的面積？若能，求出此時x的值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C作CE⊥AB于E，由勾股定理求得BC的值，進而得到梯形的周長為18，由題意知，y=-x+9，由于點Q只在AB上，于是能確定出x的取值范圍；
（2）∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BCA，有，得6x-5y=42，與y=-x+9組成方程組求解即可；
（3）通過討論點P的位置，建立關于x，y的方程組求得x的值．
解答：解：（1）過C作CE⊥AB于E，則CD=AE=3，CE=4，可得BC=5，
所以梯形ABCD的周長為6+3+4+5=18，
PQ平分ABCD的周長，所以x+y=9，
因為0≤y≤6，所以3≤x≤9，
所求關系式為：y=-x+9，3≤x≤9；

（2）依題意，P只能在BC邊上，7≤x≤9．
PB=12-x，BQ=6-y，
因為PQ∥AC，所以△BPQ∽△BCA，所以，得：
，即6x-5y=42，
解方程組得；

（3）梯形ABCD的面積為18，
當P不在BC邊上，則3≤x≤7，
（a）當3≤x＜4時，P在AD邊上，S_△APQ=xy，
如果線段PQ能平分梯形ABCD的面積，則有，
可得：，解得，（舍去），
（b）當4≤x≤7時，點P在DC邊上，此時S_ADPQ=×4（x-4+y），
如果線段PQ能平分梯形ABCD的面積，則有×4（x-4+y）=9，
可得此方程組無解．
所以當x=3時，線段PQ能平分梯形ABCD的面積．
點評：本題利用了梯形的性質，相似三角形的判定和性質，三角形的面積公式，建立方程和方程組求解，注意要針對不同情況討論，本題還利用數形結合的思想．