Question

小冬遇到一個有趣的問題：長方形臺球桌ABCD的邊長分別為AB=3，BC=5．點P在AD上，且AP=2．一球從點P處沿與AD夾角為θ的方向擊出，分別撞擊AB、BC、CD各一次后到達點P．每次撞擊桌邊時，撞擊前后的路線與桌邊所成的角相等（入射角等于反射角）．如圖①所示．
小冬的思考是這樣開始的：如圖②，將矩形ABCD沿直線AB折疊，得到矩形ABC₁D₁，由軸對稱的知識，發現QE=QR，PE=PQ+QR．請你參考小冬的思路或想出自己的方法解決下列問題：
（1）點P與點A重合時，此球所經過的路線總長度是______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意得到∠HQA=∠HAQ，∠HPA=∠HAP，推出△RCS∽△PAQ，得出比例式，求出CR，根據勾股定理求出PE即可．
（2）由（1）得出tanθ=，即可得出答案．
解答：解：（1）AS交PQ于H，
根據入射角等于反射角得到∠HQA=∠HAQ，∠HPA=∠HAP，
∴PQ=2HP=2HQ=2SR，
∵∠C=∠A=90°，∠CRS=∠QPA，
∴△RCS∽△PAQ，
∴==2，
∵PA=2，
∴CR=1，
EC₂=1，
由勾股定理得：PE==3，
同理：SR+AS==3，
∴3+3=6，
故答案為：6．

（2）由（1）知：BR=5-1=4，
∴==，
∵AB=3，
∴AQ=1，
∴tanθ==，
當P在P點上時，tanθ=，
∴當點P落在線段AP上時，tanθ的取值范圍是≤tanθ≤．
點評：本題主要考查對勾股定理，矩形的性質，軸對稱性質，解直角三角形，翻折變換等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．