Question

如圖，正方形ABCD的邊長為12，劃分成12×12個小正方形格．將邊長為n(n為整數，且2≤n≤11)的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式黑白相同地擺放，第一張n×n的紙片正好蓋住正方形ABCD左上角的n×n個小正方形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好為(n－1)×(n－1)的正方形．如此擺放下去，最后直到紙片蓋住正方形ABCD的右下角為止．

請你認真觀察思考后回答下列問題：

(1)由于正方形紙片邊長n的取值不同，完成擺放時所使正方形紙片的張數也不同，請填寫下表：

(2)設正方形ABCD被紙片蓋住的面積(重合部分只計一次)為S₁，未被蓋住的面積為S₂．

①當n＝2時，求S₁∶S₂的；

②是否存在使得S₁＝S₂的n值，若存在，請求出這樣的n值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)依次為：11、10、9、8、7; 　　(2)S1＝n2＋(12－n)[n2－(n—1)2]＝－n2＋25n－12．①當n＝2時，S1＝－22＋25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110．∴S1∶S2＝34∶110＝17∶55．③若S1＝S2，則有－n2＋25n－12＝×122，即 　　n2－25n＋84＝0．解得n1＝4，n2＝21(舍去)．∴當n＝4時，S1＝S2．∴這樣的n值是存在的．