Question

如圖，在直角坐標系xoy中，點A（2，0），點B在第一象限且△OAB為等邊三角形，

△OAB的外接圓交y軸的正半軸于點C，過點C的圓的切線交x軸于點D．

（1）判斷點C是否為弧OB的中點？并說明理由；

（2）求B、C兩點的坐標；

（3）求直線CD的函數解析式；

（4）點P在線段OB上，且滿足四邊形OPCD是等腰梯形，求點P坐標.

Answer 1

解：（1）C為弧OB的中點

            聯結AC

            ∵OC⊥OA    ∴AC為圓的直徑 

            ∴∠ABC=90°

∵△OAB為等邊三角形

∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°

∵∠ACB=∠AOB=60°

∴∠COB=∠OBC=30°

∴弧OC=弧BC      

即C為弧OB的中點

（2）過點B作BE⊥OA于E

∵A（2，0）    ∴OA=2

∴OE=1，BE= 

∴點B的坐標是（1，）  

∵C為弧OB的中點，CD是圓的切線，AC為圓的直徑

∴AC⊥CD，AC⊥OB    ∴∠CAO=∠OCD=30°∴

∴C(0,)               

（3）在△COD中，∠ COD=90°，

∴OD=      ∴D(-,0)          

        ∴直線CD的解析式為：

（4）∵四邊形OPCD是等腰梯形

     ∴∠CDO=∠DCP=60°  

     ∴∠OCP=∠COB =30°

     ∴PC=PO            

     過點P 作PF⊥OC于F,  則OF=OC=,

∴ PF=                            

    ∴ 點P的坐標為：（，）