Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，線段AD是BC邊上的中線．
（1）如圖（Ⅰ），將△ADC沿直線BC平移，使點D與點C重合，得到△FCE，連接AF．求證：四邊形ADEF是等腰梯形；
（2）如圖（Ⅱ），在（1）的條件下，再將△FCE繞點C順時針旋轉，設旋轉角為α（0°＜α＜90°）連接AF、DE．
①當AC⊥CF時，求旋轉角α的度數；②當α=60°時，請判斷四邊形ADEF的形狀，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）得出四邊形ADCF是平行四邊形，推出AF∥DC，即AF∥DE，求出∠ACD=60°，AD=DC，得出△ADC是等邊三角形，推出△FCE是等邊三角形，得出AD=FE即可；
（2）①求出∠1=60°，∠ACF=90°，相減即可；②推出CA=CE=CD=CF，求出∠ACF，求出∠ACE=180°，推出A、C、E三點共線，D、C、F三點共線，求出AE=DF，即可推出答案．
解答：（1）證明：∵△ADC沿直線BC平移得到△FCE，
∴AD∥FC，且AD=FC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∴AF∥DC，即AF∥DE，
∵∠BAC=90°，∠B=30°，
∴∠ACD=60°，
∵AD是BC邊上的中線，
∴AD=DC，
∴△ADC是等邊三角形，
∵△ADC≌△FCE，
∴△FCE是等邊三角形，
∴AD=FE，
∵AF≠DE，
∴四邊形ADEF是等腰梯形．

（2）①解：由（1）可知∠1=60°，
當AC⊥CF時，∠2=90°-60°=30°，
∴旋轉角α的度數為30°．

②解：四邊形ADEF為矩形，
理由是：由（1）可知△ADC和△FCE是全等正三角形，
∴CA=CE=CD=CF，
當α=60°時，∠ACF=60°+60°=120°，
∴∠ACE=120°+60°=180°，
∴A、C、E三點共線，同理：D、C、F三點共線，
∴AE=DF，
∴四邊形ADEF為矩形．
點評：本題考查的知識點是等腰梯形的判定，矩形的判定，平移的性質，旋轉的旋轉，等邊三角形的性質和判定等，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目比較好，但有一定的難度．