Question

【題目】在中，，CD是中線，，一個以點D為頂點的45°角繞點D旋轉，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點分別為點E、F，DF與AE交于點M，DE與BC交于點N．

（1）如圖1，若，求證：；

（2）如圖2，在繞點D旋轉的過程中，試證明恒成立；

（3）若，，求DN的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°，于是得到∠DCE＝∠DCF＝135°，根據全等三角形的性質即可的結論；
（2）證得△CDF∽△CED，根據相似三角形的性質得到，即CD2＝CECF；

（3）如圖，過D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN＝∠ECN＝90°，CG＝DG，當CD＝2，時，求得，再推出△CEN∽△GDN，根據相似三角形的性質得到，求出GN，再根據勾股定理即可得到結論．

（1）證明：∵，，CD是中線，

∴，，

∴．

在與中，，

∴．

∴；

（2）證明：∵，

∴

∵，

∴．

∴．

∴，即．

（3）如圖，過D作于點G，

則，．

當，時，

由，得．

在中，

．

∵，，

∴．

∴，

∴．

∴．