Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，，CA=CD，E、F分別是線段AD、AC上的動點（點E與點A、D不重合），且∠FEC=∠ACB，設DE=x，CF=y．
（1）求AC和AD的長；
（2）求y與x的函數關系式；
（3）當△EFC為等腰三角形時，求x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AD∥BC，可得∠ACB的正切值，在直角三角形ACB中可求得到AC，在等腰三角形ACD中利用勾股定理可得底邊的一半，從而求得AD的長度；
（2）利用兩角對應相等求得三角形AEF與三角形DCE相似，利用其性質可求得x與y的關系；
（3）對于等腰三角形要分別分三種情況進行逐一進行分析，分別求出x的值．
解答：解：（1）∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠ACB=∠CAD．
∴tan∠ACB=tan∠CAD=．
∴．
∵AB=8，
∴BC=6．
則AC=10．
過點C作CH⊥AD于點H，
∴CH=AB=8，則AH=6．
∵CA=CD，
∴AD=2AH=12．

（2）∵CA=CD，
∴∠CAD=∠D．
∵∠FEC=∠ACB，∠ACB=∠CAD，
∴∠FEC=∠D．
∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D，
∴∠1=∠2．
∴△AEF∽△DCE．
∴，
即．
∴．

（3）若△EFC為等腰三角形．
①當EC=EF時，此時△AEF≌△DCE，
∴AE=CD．
∵12-x=10，
∴x=2．
②當FC=FE時，有∠FCE=∠FEC=∠CAE，
∴CE=AE=12-x．
在Rt△CHE中，由（12-x）²=（6-x）²+8²，
解得．
③當CE=CF時，有∠CFE=∠CEF=∠CAE，
此時點F與點A重合，故點E與點D也重合，不合題意，舍去．
綜上，當△EFC為等腰三角形時，x=2或．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、等腰三角形的判定、直角梯形及銳角三角形函數的定義等知識；應用相似的性質，得到比例式，借助比例式解題是很重要的方法，做題時注意應用，對于等腰三角形問題要注意分類討論也是比較重要的，注意掌握．