Question

在直角坐標系xoy中，已知點P是反比例函數圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設切點為A．

（1）如圖1，⊙P運動到與x軸相切，設切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由．
（2）如圖2，⊙P運動到與x軸相交，設交點為B、C．當四邊形ABCP是菱形時，求出點A、B、C的坐標．

Answer 1

（1）四邊形OKPA是正方形.理由見解析（2）A（0，），B（1，0）  C（3，0）

解：（1）∵⊙P分別與兩坐標軸相切
∴ PA⊥OA，PK⊥OK
∴∠PAO=∠OKP=90°，而∠AOK=90°
∴四邊形OKPA是矩形，而PA=PK
∴四邊形OKPA是正方形
（2）連接PB，設點P的橫坐標為x，則其縱坐標為．
過點P作PG⊥BC于G，

∵四邊形ABCP為菱形
∴BC="PC=" PA= AB，而PA=" PB" = PC
∴△PBC是等邊三角形
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x
PG=．sin60°=，即
解得：x=±2（負值舍去）∴ PG=，PA=BC=2
易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1
∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3
∴ A（0，），B（1，0）  C（3，0）．
（1）四邊形OKPA是正方形．當⊙P分別與兩坐標軸相切時，PA⊥y軸，PK⊥x軸，x軸⊥y軸，且PA=PK，可判斷結論；
（2）連接PB，設點P（x，），過點P作PG⊥BC于G，則半徑PB=PC，由菱形的性質得PC=BC，可知△PBC為等邊三角形，在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG= ，利用sin∠PBG="PG/PB" ，列方程求x即可．