Question

在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分別為AB、AD的中點，連接EF、EC、BF、CF．
（1）判斷四邊形AECD的形狀（不證明）；
（2）在不添加其它條件下，寫出圖中一對全等的三角形，用符號“≌”表示，并證明；
（3）若CD=2，求四邊形BCFE的面積．

Answer 1

解：（1）平行四邊形；

（2）△BEF≌△CDF或（△AFB≌△EBC≌△EFC）
證明：連接DE，
∵AB=2CD，E為AB中點，
∴DC=EB，
又∵DC∥EB，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
∵AB⊥BC，
∴四邊形BCDE為矩形，
∴∠AED=90°，∠CDE=∠BED=90°，BE=CD，
在Rt△AED中，∠A=60°，F為AD的中點，
∴AF=AD=EF，
∴△AEF為等邊三角形，
∴∠DFE=180°-60°=120°，
∵EF=DF，
∴∠FDE=∠FED=30°．
∴∠CDF=∠BEF=120°，
在△BEF和△FDC中，
，
∴△BEF≌△CDF（SAS）．（其他情況證明略）

（3）若CD=2，則AD=4，
∵∠A=60°，
∴sin60°==，
∴DE=AD•=2
∴DE=BC=2，
∵四邊形AECD為平行四邊形，
∴S_△ECF與S_{四邊形AECD}等底同高，
∴S_△ECF=S_{四邊形AECD}=CD•DE=×2×2=2，
S_△CBE=BE•BC=×2×2=2，
∴S_{四邊形BCFE}=S_△ECF+S_△EBC=2+2=4．
分析：（1）根據題意可知AE∥CD且AE=CD，所以四邊形AECD是平行四邊形．
（2）連接DE，證出四邊形DEBC是矩形，再加上F是AD的中點，∠A=60°，可得出△AFE是等邊三角形，那么就可證出△BEF≌△FDC．
（3）因為F是AD的中點，所以能得出△EFC的面積是平行四邊AECD的面積的一半，再加上∠A=60°，可求出DE（BC=DE）的長，再利用三角形的面積公式計算就可以了．
點評：本題主要運用了平行四邊形的判定和性質，以及矩形的判定和性質，還有全等三角形的判定和性質，三角形的面積公式等內容．