Question

探究型問題
如圖所示，在同一平面內，兩條直線相交時最多有1個交點，三條直線相交時最多有3個交點，四條直線相交時最多有6個交點．

（1）當五條直線相交時交點最多會有多少個？
（2）猜想n條直線相交時最多有幾個交點？（用含n的代數式表示）
（3）算一算，同一平面內10條直線最多有多少個？
（4）平面上有10條直線，無任何3條交于一點（3條以上交于一點也無），也無重合，它們會出現31個交點嗎？如果能給出一個畫法；如果不能請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，∵兩條直線相交，最多有1個交點，
三條直線相交，最多有1+2=3個交點，
四條直線相交，最多有1+2+3=6個交點．
∴五條直線相交，最多有1+2+3+4=10個交點；

（2）n條直線相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=個交點；

（3）10條直線相交，最多有=45個交點；

（4）會出現31個交點，如下圖所示：

分析：（1）要探求相交直線的交點的最多個數，則應盡量讓每兩條直線產生不同的交點．根據兩條直線相交有一個交點，畫第五條直線時，應盡量和前面四條直線都產生交點，即增加4個交點，則有6+4=10個交點；
（2）根據已知條件，求得n條直線相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=個交點；
（3）將n=10代入上式即可求解；
（4）可使5條直線平行，另3條直線平行且都與這5條相交，再有2條直線平行且都與這5條直線相交，且3條和2條也有相交．
點評：此題考查平面內不重合直線的位置關系，是尋找規律的題型，找到n條直線相交，最多有個交點是解題的關鍵．