Question

某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿市場銷售單價y與上市時間t的關系可以近似地用圖①的一條折線表示；西紅柿的種植成本單價z與上市時間t的關系可以近似地用圖②的一段拋物線表示．

（1）直接寫出圖①表示的市場銷售單價y與時間t的函數關系式；
（2）求出圖②中表示的種植成本單價z與上市時間t的函數關系式；
（3）認定市場銷售單價減去種植成本單價為純收益單價，問何時上市的西紅柿純收益單價最大？最大是多少？
（注：市場銷售單價和各種植成本單價的單位：元/100kg，時間單位：天）

Answer 1

分析：（1）根據圖象①，設出函數關系式，分別找出兩個點的坐標，代入即可求出y與t的函數關系式；
（2）根據圖象②，找出三個點，運用待定系數法即可求出函數關系式；
（3）設純收益為h，則純收益=市場售價-種植成本，由于y是分段函數，所以h也是分段函數，求最大純收益單價，就要在每一個分段函數內，根據自變量取值范圍，函數性質來確定．

解答：解：（1）設函數圖象為y=kt+b，
當0≤t≤200時，由圖可知點（0，300），（200，100）在函數圖象上，
代入解析式得：

b=300 200k+b=100

，
解得：

k=-1 b=300

，
∴y=-t+300
同理可得：
當200≤t≤300時，解析式為y=2t-300，
故銷售單價y與時間t的函數關系式為：

y=-t+300(0≤t≤200) y=2t-300(200≤t≤300)

；
（2）根據圖象，設函數解析式為z=a（t-150）²+100，
把點（50，150）代入解析式的：150=a×10000+100，
解得：a=

1

200

，
故解析式為：z=

1

200

（t-150）²+100；
（3）設t時刻的純收益為h，則由題意得h=y-z，即
h=

-t+300- 1 200 (t-150)2-100(0≤t≤200) 2t-300- 1 200 (t-150)2-100(200≤t≤300)

，
當0≤t≤200時，配方整理得：
h=-

1

200

（t-50）²+100，
當t=50時，h取得區間[0，200]上的最大值100
當200≤t≤300時，配方整理得：
h=-

1

200

（t-350）²+100，
當t=300時，h取得區間[200，300]上的最大值87.5
綜上，由100＞87.5可知，h在區間[0，300]上可以取得最大值100，
此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大，最大為100元．

點評：本題考查了二次函數的應用，一次函數與分段函數，自變量取值范圍在本題中都得到了體現，難度較大，要根據題目給的范圍，找準等量關系，分段求最大值．