Question

某專賣店專銷某種品牌的電子產品，進價12元/只，售價20元/只．為了促銷，專賣店決定凡是買10只以上的，每多買一只，售價就降低0.1元（例如，某人買20只，于是每只降價0.1×（20-10）=1元，這樣就可以按19元/只的價格購買這20只產品），但是最低價為16元/只．
（1）若顧客想以最低價購買的話，一次至少要買多少只？
（2）若x表示顧客購買該產品的數量，y表示專賣店獲得的利潤，求y與x的函數關系式；并求出專賣店一次共獲利潤180元時，該顧客此次所購買的產品數量．
（3）有一天，一位顧客買了46只，另一位顧客買了50只，專賣店發現賣了50只反而比賣46只賺的錢少．為了使每次賣的多賺錢也多，在其他促銷條件不變的情況下，最低價16元/只至少要提高到多少元/只？

Answer 1

分析：（1）理解促銷方案，正確表示售價，得方程求解；
（2）因為設了最低價，所以超過一定數量也按最低價銷售，不再打折，所以需分類討論；
（3）根據函數性質解釋現象，進一步解決問題．

解答：解：（1）設需要購買x只，
則20-0.1（x-10）=16（2分）
得x=50
∴一次至少要購買50只（3分）
（2）當0≤x≤10時，y=（20-12）x=8x，即y=8x，
把y=180代入，解得x=22.5（舍去）；
當10＜x≤50時，y=[20-12-0.1（x-10）]x，即y=-0.1x²+9x（4分）
把y=180代入，解得x₁=30，x₂=60（舍去）；（5分）
當x＞50時，y=（16-12）x，即y=4x（6分）
把y=180代入，解得x=45（舍去）．
∴該顧客此次所購買的數量是30只（7分）
（3）當0＜x≤50時，y=-0.1x²+9x（10＜x≤50），
當x=-

b

2a

=45時，y有最大值202.5元；
此時售價為20-0.1×（45-10）=16.5（元）（8分）
當45＜x≤50時，y隨著x的增大而減小（9分）
∴最低價至少要提高到16.5元/只．（10分）

點評：此題運用了函數的對稱性討論最大值問題，需考慮自變量的取值范圍．