Question

25、如圖，在?ABCD中，AC與BD相交于點O，∠AOD=∠CBO，
（1）說明AD=AO=CO=BC的理由；
（2）已知△ABD的的周長為a，△AOB的周長為b，求?ABCD的周長．

Answer 1

分析：（1）由平行四邊形的對角線互相平分得AO=CO，由對頂角相等及∠AOD=∠CBO，得∠COB=∠CBO，則CO=BC，又由平行四邊形的對邊相等，得AD=BC，證明結論；
（2）由（1）的結論及已知得OD=a-b，則BD=2（a-b），AD+AB=a-BD，?ABCD的周長=2（AD+AB）．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知），
∴AO=CO（平行四邊形對角線互相平分），…（1分）
AD=BC（平行四邊形對邊相等）．…（1分）
∵∠AOD=∠CBO（已知），∠AOD=∠COB（對頂角相等），
∴∠COB=∠CBO，∴OC=BC（等角對等邊）．…（1分）
∴AD=AO=CO=BC．…（1分）

（2）∵AB+AD+BD=a，AB+AO+BO=b，AO=AD，
∴BD-DO=a-b，即OB=a-b．…（1分）
∴BD=2OB=2a-2b．
∴AB+AD=a-BD=a-（2a-2b）=2b-a．…（1分）
∴?ABCD的周長AB+BC+CD+AD=2（AB+AD）=4b-2a．…（1分）

點評：本題考查了平行四邊形的性質．關鍵是利用角的相等關系證明等腰三角形，得到線段相等，利用兩個三角形的周長差求線段的長．