Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l經過頂點C，過A、B兩點分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足．

（1）當直線l不與底邊AB相交時，求證：EF=AE+BF．
（2）如圖2，將直線l繞點C順時針旋轉，使l與底邊AB交于點D，請你探究直線l在如下三種可能的位置時，EF、AE、BF三者之間的數量關系．（直接填空）
①當AD＞BD時，關系是：

AE=BF+EF

．
②當AD=BD時，關系是：

AE=BF

．
③當AD＜BD時，關系是：

BF=AE+EF

．

Answer 1

分析：（1）求出∠AEC=∠BFC=90°，∠EAC=∠FCB，根據AAS證△EAC≌△FCB，推出CE=BF，AE=CF即可；
（2）類比（1）證得對應的兩個三角形全等，求出線段之間的關系即可．

解答：解：（1）證明：∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB=90°
∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠ECA=90°，∠ECA+∠FCB=90°，
∴∠EAC=∠FCB，
在△EAC和△FCB中，

∠AEC=∠CFB ∠EAC=FCB AC=BC

∴△EAC≌△FCB（AAS），
∴CE=BF，AE=CF，
∴EF=CE+CF=AE+BF，
即EF=AE+BF；

（2）①當AD＞BD時，
∵∠ACB=90°，AE⊥L直線，
∴∠BCF=∠CAE（同為∠ACD的余角），
又∵AC=BC，BF⊥L直線
即∠BFC=∠AEC=90°，
∴△ACE≌△BCF，
∴CF=AE，CE=BF，
∵CF=CE+EF=BF+EF，
∴AE=BF+EF；
②當AD=BD時，
AD=AE，BF=BD，
∵AD⊥AB，AC=BC，AD=AD，
∴Rt△ADC≌Rt△BDC（HL），
∴AD=BD，
∴AE=BF；
③當AD＜BD時，
∵∠ACB=90°，BF⊥L直線，
∴∠CBF=∠ACE（同為∠BCD的余角），
又∵AC=BC，BE⊥L直線，
即∠AEC=∠BFC=90°
∴△ACE≌△BCF，
∴CF=AE，BF=CE，
∵CE=CF+EF=AE+EF，
∴BF=AE+EF．

點評：此題考查三角形全等的判定與性質，以及等量代換等知識點．