Question

【題目】如圖(1) ，折疊平行四邊形，使得分別落在邊上的點，為折痕

(1)若，證明:平行四邊形是菱形;

(2)若 ，求的大小;

(3)如圖(2) ，以為鄰邊作平行四邊形，若，求的大小

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）30°；（3）45°.

【解析】

（1）利用面積法解決問題即可．

（2）分別求出∠BAD，∠BAB′，∠DAD′即可解決問題．

（3）如圖2中，延長AE到H，使得EH＝EA，連接CH，HG，EF，AC．想辦法證明E，H，G，C四點共圓，可得∠EGC＝∠EHC＝45°．

（1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC，AF⊥CD，

∴S平行四邊形ABCD＝BCAE＝CDAF，

∵AE＝AF，

∴BC＝CD，

∴平行四邊形是菱形；

（2）解：如圖1中，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠C＝∠BAD＝110°，

∵AB∥CD，

∴∠C+∠B＝180°，

∴∠B＝∠D＝70°，

∵AE⊥BC，AF⊥CD．

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

∴∠BAE＝∠DAF＝20°，

由翻折變換的性質可知：∠BAB′＝2∠BAE＝40°，∠DAD′＝2∠DAF＝40°，

∴∠B′AD′＝110°﹣80°＝30°．

（3）解：如圖2中，延長AE到H，使得EH＝EA，連接CH，HG，EF，AC．

∵EA＝EC，∠AEC＝90°，

∴∠ACE＝45°，

∵∠AEC+∠AFC＝180°，

∴A，B，C，F四點共圓，

∴∠AFE＝∠ACE＝45°，

∵四邊形AEGF是平行四邊形，

∴AF∥EG，AE＝FG，

∴∠AFE＝∠FEG＝45°，

∴EH＝AE＝FG，EH∥FG，

∴四邊形EHGF是平行四邊形，

∴EF∥HG，

∴∠FEG＝∠EGH＝45°

∵EC＝AE＝EH，∠CEH＝90°，

∴∠ECH＝∠EHC＝45°，

∴∠ECH＝∠EGH，

∴E，H，G，C四點共圓，∠EGC＝∠EHC＝45°．