Question

已知，如圖，AD為Rt△ABC斜邊BC上的高，點E為DA延長線上一點，連接BE，過點C作CF⊥BE于點F，交AB、AD于M、N兩點．
（1）若線段AM、AN的長是關于x的一元二次方程x²-2mx+n²-mn+m²=0的兩個實數根，求證：AM=AN；
（2）若AN=，DN=，求DE的長；
（3）若在（1）的條件下，S_△AMN：S_△ABE=9：64，且線段BF與EF的長是關于y的一元二次方程5y²-16ky+10k²+5=0的兩個實數根，求BC的長．

Answer 1

（1）證明：△=（-2m）²-4（n²-mn+m²）=-（m-2n）²≥0，
∴（m-2n）²≤0，
∴m-2n=0，
∴△=0
∴一元二次方程x²-2mx+n²-mn+m²=0有兩個相等實根，
∴AM=AN．

（2）解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∠DAC=∠DBA，
∴△ADC∽△BDA，
∴=，
∴AD²=BD•DC，
∵CF⊥BE，
∴∠FCB+∠EBD=90°，
∵∠E+∠EBD=90°，
∴∠E=∠FCB，
∵∠NDC=∠EDB=90°，
∴△EBD∽△CND，
∴△ADC∽△BDA，
∴=，
∴BD•DC=ED•DN，
∴AD²=ED•DN，
∵AN=，DN=，
∴AD=DN+AN=3，
∴3²=DE，
∴DE=8．

（3）解：由（1）知AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM
∵∠AMN+∠CAN=90°，∠DNC+∠NCD=90°，
∴∠ACM=∠NCD
∵∠BMF+∠FBM=90°，∠AMC+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠FBM
由（2）可知∠E=∠FCB，
∴∠ABE=∠E，
∴AB=AE
過點M作MG⊥AN于點G
由MG∥BD得=，
∴===，
∴=，
∴==，
過點A作AH⊥EF于點H，
由AH∥FN，
得==，
設EH=8a，則FH=3a，
∵AE=AB，
∴BH=HE=8a，
∴BF=5a，EF=11a，
由根與系數關系得，，
解得：a=±，
∵a＞0，a=，
∴BF=，
由∠ACM=∠MCB，∠DAC=∠DBA可知△ACN∽△BCM，
∴==
設AC=3b，則BC=5b
在Rt△ABC中，有AB=4b．
∴AM=．
在Rt△ACM中，有MC=
由△ACM∽△FCB得，∴，
∴BC=5．
分析：（1）根據根的判別式△=0，判斷出AM=AN，
（2）判斷出△ADC∽△BDA，△ADC∽△BDA，利用相似三角形的性質解答，
（3）根據面積比等于相似比的平方解答．
點評：此題綜合性強，難度大，有利于培養同學們對知識綜合運用的能力，命題立意：此題綜合考查一元二次方程的根與系數的關系，三角形相似的判定及性質的應用．