Question

某人制定了一批地磚，每塊地磚（如圖1所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，且CE=CF，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均分別由不同的單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格依次為30元，20元，10元，若將此種地磚，按圖2所示的形式鋪設，能使中間的陰影部分成四邊形EFGH．
（1）判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由．
（2）點EF在什么位置時，定制這樣的一塊地磚ABCD所需的材料費為2.7元？

Answer 1

分析：（1）根據正方形形的判定（對角線互相平分，相等，且垂直的四邊形是正方形）證出即可；
（2）設CE=CF=x米，求出△EFC、△ABE、四邊形AEFD的面積，根據題意得到方程，求出方程的解即可．

解答：（1）四邊形EFGH是正方形． 
∵CE=CF=CG=CH，FH⊥EG，
即CE=CG，CF=CH，EG=FH，FH⊥EG，
∴四邊形EFGH是正方形；

 （2）解：設CE=CF=x米，
則△EFC的面積是：

1

2

x²；
△ABE的面積是：

1

2

AB•BE=

1

2

×0.4×（0.4-x）=0.08-0.2x；
四邊形AEFD的面積是：0.4²-

1

2

x²-（0.08-0.2x）=-

1

2

x²+0.2x+0.08．
根據題意得：30×

1

2

x²+20（0.08-0.2x）+10（-

1

2

x²+0.2x+0.08）=2.7，
∴100x²-20x-3=0，
解得：x=0.3，x=-0.1（舍去），
答：點EF在離C的距離是0.3米時，定制這樣的一塊地磚ABCD所需的材料費為2.7元．

點評：本題主要考查對正方形的性質和判定，三角形的面積，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，能根據題意得到方程是解此題的關鍵．